不賣咖啡,只有限制級的真相

2011-10-11

數學不好的真正原因!



世界上分為兩種人,一種是數學好的人,一種是數學不好的人。

過去大家提到數學學不好的人,總說因為那些人「邏輯不好」「無法理解題目意涵」,最好要加強邏輯訓練或增強國語文訓練,而在高中<排列組合>單元中,更是所有老師異口同聲地宣揚:「許多數學過去不太好的同學,這裡有可能重新洗牌!很有可能把排列組合學的很好哦!」

但結果還是不如人意,幾乎數學真的不好的人,會一直不好。



迷思一:大家說「邏輯不好的人就學不好數學」?

許多律師、作家、管理決策者都是數學不好的人,但是你能說他們沒有邏輯概念嗎?他們的組織能力常常還超越一般人,而且能做出非常龐大複雜的聯想思考。


迷思二:大家說「數學不好的人是因為無法理解題目」?

同上述,難道連法律條文、古文、新詩散文都能運用自如的人會看不懂題目?應該是相反吧,一般人就算數學再好,也無法隨便看到一句古文就能馬上理解,說不定連成語都會難倒他們。


迷思三:大家說「數學不好的同學是練習太少」?

已有證據說明,不論這些數學不好的同學算再多題目,也比不上數學普通的其他人的解題能力。


數學不好的真正原因是:思考方式不同!

請注意,思考方式跟邏輯無關!而跟想像力的運用有關!

以最簡單的邏輯數學題目為例:


五支電線桿,在間隔種樹,請問可以種幾棵?
如果頭尾也都種可種幾棵?


數學好的人思考是:5 - 1= 4(顆)

數學不好的人思考:
「五支電線桿,要間隔種,那就是兩支間會有一棵,那五支電線桿要分成幾個兩支呢?應該是 2 + 2 + 1,應該有算三組吧?不過彼此都相連在一起,所以是不是要哪裡把它加上去?」(思考很久~)



只要你在校的數學程度可以用「普通」 來形容,你一定會覺得:「太誇張了吧!哪有這麼難啊!」

是的,所以這種時候,數學不好的人會在紙上畫五根線條,然後算中間有幾個間隔,而發現剛好就是四根,所以猜測應該就是:「總數 - 1 吧?」


頭尾都要種樹呢?

數學好的人思考:
5 + 1 = 6(顆)

數學不好的思考:
「頭尾?總數跟頭尾?前面加上一棵,後面加上一棵,那應該是什麼呢?應該是剛剛那個題目再加上2吧?」

再不濟,就拿筆在紙上再畫一次~,然後還是算錯或畫錯。



想像力的運用:

對數學好的人來說,那些數字、符號、公式在他們的腦中是有「代號性的意義」,就像看到紅燈要停止、看到綠燈要往前那樣自然的連結聯想。你任何時間只要看到紅燈,不論是停車場出口、平交道、救護車上方,你都能直覺反應要停一下注意,或左右張望吧?這已經是你腦海中的啟動代號,不用去思考就能有下一步動作。

但對於數學不好的人來說,數字、符號、公式都只是「純符號」,更正確的說是一個「還未有明確說明的符號」,因此有無數種詮釋方式。比方對他們來說,要去理解<等差級數>的公式,看到課本寫:


第n項數字,就是 = 第1項 + (n-1) x 公差

他們想:「第三十個項目,就是第一項,然後還要最後一項,嗯...,中間不是用加起來的,而公差是每個的差距,所以應該是要從第一項開始加公差,可是要加幾次呢?因為剛剛的種樹題目好像有一種是要 -1,一種是要 + 2,所以這裡會是什麼呢?」

想到這裡,拿出紙筆開始任意寫出1、3、5、7,開始想公差怎麼使用,然後看到公式,寫著 (n-1) x 公差,所以應該是剛剛種樹的那種感覺吧,是要 -1的,可是其他時候要減多少呢?而為什麼又要減一呢?...算了,趕快把公式抄起來,等等考試就套用就對了。


看到這裡,請問你有一點點理解了嗎?

對於數學好的人,公式裡的方法都是很輕易能夠理解的,腦海中很多公式,只要看到題目,就能馬上抽取過來使用,不論要算排列組合、圓錐曲線、幾何距離,都像是看到紅綠燈那樣簡單,差別只在於:

"難一點的題目就像是考駕照需要背比較多燈號罷了!"


但數學不好的人,從一開始到最後的思維都是複雜化的。當他們看到數學題目時:雞兔同籠,已知共有20頭,腳共有66隻,請問雞和兔子各有幾隻?(注釋1)

就像看到以下文字:雨水的窗框軌跡球尖銳柿餅公車速食店,天下刀片使用白鴿掛號無法眾多,中午首長食物綜合不分,若電力勞累鋼琴後面鋼鐵?


真的是這樣!不論符號或算式甚至數字本身,對他們來說都是單一需要去重新詮釋的東西,如果沒有詮釋成功,則只有兩個結果:

1. 無法繼續往下算。
2. 因為想像出某種推測而得到錯誤的答案。


數學不好的孩子很可憐,當學校上課老師教題目,他們從第一行看到第二行、第三行算式,都覺得非常的合理!超級順暢的!自己心裡面也覺得很開心,因為今天的課都聽的懂耶!但是等到自己開始算就「無法重製那個過程」,也絕不會因為算十遍而有所改善,頂多是把解題式整個背下來!

這也是為什麼數學不好的人奮發圖強,考前猛K,隔天還能考個四、五十分甚至及格,但只要過一天你再重新考他,他就只剩下十分了,因為他都用死背的,而那十分還是他在考卷上把題目的內容全部「圖像化」後的結果!

你問他:
一個方格棋盤上,第一格擺一粒米、第二格擺兩粒米、第三格擺四粒、第四格八粒,請問放滿64格需要幾粒?

他會真的開始一格一格「畫」!
任何題目他都會從1開始代入,而請問升高中或大學需要「理解」多少公式?

至於數學好的人,即便到了中年,看到題目和公式,只要稍微回想一下,馬上又能連貫起來,這種人當了父母常常覺得自己小孩很混或一定是學校老師太混,於是送孩子去補習班,但即便找了全地球上最厲害的數學老師,結果還是一樣,不信的話坊間有許多<學好數學真容易>那類的書,你去買來教教你小孩,他頂多拿來當故事書看...。

那些補習費,你不如買小說、漫畫書給他當禮物;那些補習時間不如讓他去培養興趣、或跟朋友去玩,千萬不要擔心數學不好會怎麼樣,不少律師、或補習班教法律的講師都是過去數學爛到不行的人,他們的月收入常常比一般父母年收入還高,而且,很快樂。

過去我以為,宇宙中說不定有另外一種數學模式,可以適用於數學不好的人,因為數學不好的人在其他方面並沒有任何不好啊!但後來推測並不會有這樣的東西,因為「數學不是宇宙間共通的語言」,而是「宇宙間共通的一種思維」,所以不是這樣想事情的人,就不會這樣想事情。



--

後記:

以前看班上好學生喜歡「演練題目」,老師也說要多「解題」,甚至連數學普通的人都拿著課本反覆練習並說「課本的觀念就很夠了」!

我看著、我模仿了、我努力了,我試著去用最精緻、完整的方式整理公式和筆記,更曾在補習班老師很清楚的講解某一個題目後,回家算了兩次,把公式好好地理解了一番,想說從今天開始我要奮發圖強!要當個數學可以拿均標的好學生!

結果下一次補習的小考,一模一樣的題目,我看了超開心!心裡想:「這就是用那些公式沒錯!」馬上拿起筆準備下筆。

但是,那個公式是什麼呢?

我想了大概五分鐘,偷偷從書包翻出講義那一頁,瞄了第一行...

「啊,對!就是這個麻!!」

開始寫了大約半行的算式,然後又卡住了...

最後,我偷偷把這一題抄完,後面放棄了,下課跑去買可樂喝,


那時,

心中的我某個部分就此死去。




--

注釋1:

原本文章附的題經網友多次指正有問題,因此
換上網路找來的國中數學題目一題,不過後來又有很多人紛紛指出該題目的各種問題,已超出我能彌補的範疇,就不繼續更新或更換題目了。

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補充:

後來詢問了一些數學好的人(求學時代中,數學成績在班上或學校裡前幾名)幾個問題,包括「你們看到題目是什麼感覺?」「你們數學為什麼會好?」「為什麼其他人不論補習或努力都無法變成這樣?」等等的問題,來補充一些不同的參考說法。


1. 你們看到題目是什麼感覺?
► 這難倒我了 .......囧。
► 想公式,就像玩拼圖的想法,先理解問題要的答案是什麼,再來把他給你的線索列出,然後想出那些線索可套用的公式,基本上問題中要你給的答案,就決定了哪些公式,所以背公式很重要。
► 就想要用什麼公式啊。

2. 你們數學為什麼會好?
► 數學,感覺是用比較簡潔的文字在描述,定義比較清楚,文字對我來說感覺是比較模糊的語言,但是要通曉兩者,前提是推理,邏輯思考要先有。 
► 這比較像哲學,因為每個人對文字和敍述的認知不同,以數學中立體面積來解釋點丶缐丶面,每個人看到的立體認知不同。
► 沒有為什麼啊。

3. 為什麼其他人不論補習或努力都無法變成這樣?
► 就有點像學程式語言一樣,基礎要穩固,中間漏一段變成一知半懂,但是覺得學習語言就是慣用,常用講法,不用太在乎對錯,另外 感受,感覺都是比較模糊,很難具體形容的東西,用電腦的說法就是比較類比,數位的世界就是01,定義比較清楚。
► 不努力吧,決心不夠,潛意識沒有真的想要了解,而或者又是時間的問題,有的人一段路~要十分鐘,有的人五分鐘。
► 就像你會畫圖一樣啊,你會想到該畫什麼,但我就畫不出來啊。

4. 你為什麼喜歡數獨?為什麼好玩?為什麼要一直玩?
► 就很有趣啊,要去猜他的答案。因為有很多組合啊,就像你玩電動一樣。因為每次都不一樣啊。


第四個問題是純粹好奇為什麼有人這麼喜歡玩數獨,跟數學好不好有沒有正相關我不驗證。但透過這些數學好的人的言談當中,並沒有得到什麼令網友信服的答案,因此留言當中還是有無數網友不斷想強調自己有什麼學習祕訣 。


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補充背景:

這篇文章是我學校畢業後才寫的,以前國中、高中都有補習,我很清楚數學開始變差的時候是在小學四年級教算盤的時候,上課時看到算盤的1+1、1+2的打法覺得很簡單,於是開始都沒聽課,等到考試時題目都是「幾萬加減幾萬」的類型,我才發現我不會用算盤打「進位」,於是只好手動計算,結果分數很不理想,從此數學就再也沒有好過了。

幾年後一位親戚又專程買了算盤和題目本來教我算盤,當時我記得我學會了加法,很高興的想說乘除法也指日可待了!不過並沒有發展到那一天。

國、高中的補習有一個很奇特但普遍的現象,就是上課時老師講解題目的時候,你一邊看一邊都完全理解,非常非常地順暢。老師同一個題型應該會講解兩、三題,每次看每次都懂,然後回家會有相似的題目給大家算,下次上課前先小考或講解作業答案。回家算的時候可能會完全忘記老師講的算法,即便有把白板上的公式全部抄下來,回家看還是不懂,後來只好開始寫「白話註解在旁邊」,也就是其他同學可能是抄了六行的公式就得到答案,自己上課卻要抄很多老師講的白話,想說,只要把老師講的話都抄下來,應該就能複製「上課聽老師講的那種順暢感」吧,但結果不如預期,一方面是抄不完,一方面是不可能這樣數學就會變好,或腦子就都通了。

除了學校上課、補習、問一問班上功課好的人,至少到高二前都沒放棄數學,原因是以前有「全才迷思」,覺得要當好學生,不能有哪一科「非常不好」。雖然我數學不好,但不致於差到是全班最後一名的程度,所以覺得還是要想辦法扭轉劣勢,才能上前三志願。後來看到班上有一個同學,居然在數學課時完全戴上耳塞來念國文史地,絲毫不管老師講任何東西,問了對方動機,對方說數學一科的分數可以用其他科目來彌補,同樣時間花在數學上,最後聯考得到的分數不超過5分,但花在任何其他文科上,最後加總其來有幾十分,要考上大學這才是關鍵。

於是我才拋開數學,但又不全拋開,還是繼續補習,希望拿到基本分。

上了大學念微積分、線性代數這些科目,終於讓我覺得應該是無法改變這個事實吧,全班同學聽微積分助教超快速的解題對白,都頭頭是道的點頭認同,一題接一題,一個小時接一個小時,超大本的原文課本、超小字的斜體公式,然後用英文說明...,以前自己寫的白話註解都看不懂了,何況是數學用英文,但班上即便是倒數前五名都看的懂...,真的會讓人感到很無助。

這篇文章是後來回想的心得,而非勸說大家直接放棄數學。後來大學中遇到的兩位老師都不約而同地說到自己數學不好,但在其他地方很努力,這兩位後來都變成補教界名師,也是法律、政治、傳播界的專業人員(名人?),跟大家分享其中一位老師的觀念:

「在哪裡跌倒,就在哪裡躺下。」也就是在自己擅長的領域裡爭長短、盡情發揮,而不是執著於無法發揮的地方,跟自己鑽牛角尖,成就受限。

「輸在起跑點沒關係,要贏在終點。」人生不是因為有上貴族小學、最多補習、前三志願而讓人功成名就,而是你不斷學習、發揮所長,最後在工作、人生、家庭得到開心的結果。


意識到自己在做什麼,做出選擇,然後自己負責。



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有無數的網友試圖去「強調本文當中的文句謬誤」或「證明自己有辦法學好數學」,請這些網友努力開補習班授課,相信一定會鴻圖大展,不需要一直留言來解釋,畢竟我並不是數學界的伯樂,跟我證明你們數學多厲害沒有用啊!

你們應該想辦法讓所有親友、朋友、同學,都能知道你們數學的祕訣才對!

況且如果只針對文字堆疊的計較,那就什麼都不用闡述了不是嗎?

4 則留言:

  1. 看到" 白話註記 " 這段我不禁流下眼淚...
    想當初我也是報著 "凡努力必有收穫的道理"
    用自己的方法來學習數學 自己理解公式, 並從解題過程中發現錯誤點 為什麼會有這樣的思考, 全部註記下來, 甚至真的把老師說的每句話抄下來, 可是完全沒用 , 同學有人看到我寫了一堆東西, 表現得非常不可思議的樣子, 我明白他沒有任何惡意, 只是他打從心底的震驚讓我意會, 原來我跟你的不同是在思考方式
    大學時還用錄音機錄, 看著旁邊睡覺的同學, 不禁笑笑, 你們在睡覺, 我可是認真的學習哟!! 明天小考你一定零分, 不過等考卷改完發下來才發現 睡覺的同學考滿分, 我只對一半.....
    我明白這是天分問題, 數學好的人通常不會理解為什麼數學不好的人都不用功, 他們不了解的是並非不用功, 而是讀了也沒用
    這個社會就是這麼現實, 你會就有成就 就是社會棟梁, 你不會就是垃圾沒用的廢物, 所以你最好給我會, 不準玩不準去社團, 你人生全部的時間都給我念書, 然後因為天分不佳, 事倍功半 , 犧牲了時間可是投資報酬率超低, 我想這是數學好的人永遠無法體會的經驗

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  2. 然後最重要的是, 很少有人要你真對你的天賦去發揮專長, 孔子講因材施教講了2000年, 學校卻很少老師鼓勵你發展自己的專長
    針對專長去發展生涯規畫還是我自己領會的, 沒有人告訴我, 哼!

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    1. 是的,我想這個問題有兩個部分為關鍵:
      1. 主流父母對於大學教育的認同迷思,覺得這是唯一一條小孩能出人頭地的路,因此否定了其他的可能性以及不認為其他的規劃有益於小孩,當然這可能也是因為潛意識我們不停地被灌輸好大學=好工作=穩定不危險。
      2. 若有人發現一個孩子的天賦,不論是老師、師長、旁人、長輩等等,這個旁人去「建言」這小孩是否該走什麼路線,對自己並沒有太大好處,因為這變成干預別人的家務事、干預教養方式,沒事找事,要知道,影響一個家庭對小孩的教育,並不是只跑去講個一、兩次,就能改觀,而是要長時間、多次、舉證、搭配口條、說服力、感染力,才有一丁點可能性,去影響一般父母,但我們想想,一般老師、學校,有任何一丁點理由,要去這樣做嗎?當然是沒有的,因為對自己的職場發展看不到短期效益,甚至也不一定有長期效益,對自己的人生有幫助嗎?很難說,除非這小孩以後功成名就,願意回來感謝自己師長或公開這件事。

      當然,你找到自己的路,那真的是人生中很棒的一件事,希望你能好好把握,也不要忘記持續閱讀、學習,把自己不足的地方繼續補齊、加強,為這社會貢獻一份心力~

      刪除
  3. 您好,我目前是一位高中數學的家教。

    最近也在自己教導的兩位學生身上看見這樣的特質,我想這和「多餘的思考」有關。
    不過到底什麼是多餘的思考呢?

    私以為數學能力好的學生們,一方面是有其天賦在,另一方面真的是擁有很好的「運氣」。
    在學習數學時,有一件事情很重要:不要讓雜七雜八的思考充斥腦袋。

    學很多事情我想都是這樣的。但數學尤其是。因為數學家們用「理論」來建立的世界是一個「完美的世界」(因此它冷冰冰且不近人情),而這樣的世界若是被一些「與數學或完美的世界無關」的東西填充,就會被破壞掉。
    但許多的孩子們無法接受「自己在算數學時必須讓腦袋處於完美世界之中」。

    Ex. 很多人在算數學的時候會先質疑題目為何要這樣出。
    我想您可能也經歷過這樣的事情。

    :「我算這個幹嘛啊。反正除了我以外還會有其他人算出來啊。」

    這樣的念頭對數學而言就是「雜念」,一旦有了雜念就很容易中斷思考。

    (不妨想像一下自己正在台上演講。前兩天剛背好的講稿現在正在您的腦袋裡準備中。好,上台了。講到一半的時候,您突然發現:哎呀,底下有個傢伙一直在搞笑耶。然後您就忘了下一句要講什麼。)

    清除雜念的方式很多,而這之中最沒用的就是對對方說一句:哎呀這很簡單啦,算就對了。
    因為就算說了,對方還是不覺得簡單啊!

    我自己的做法是:替這些孩子累積自信心。
    (數學雖然只有一種標準答案,但是得到標準答案的路徑很多。許多學生們在自己與老師的做法不同的時候會下意識認定自己是錯誤的,進而抹煞自己的數學能力)

    於是我會用引導的方式教這些學生,讓他們透過自己的手算出正確答案。
    讓他們說出自己正在想什麼(好多學生聽見我要求他們說出自己的想法時都以為我要攻擊他們而不敢闡述,天啊這個世界怎麼了……)並引導他們清晰的思考方式。這樣的思考方式就會存在於自己的腦中(和課堂上從老師口中或腦內抄下來的東西就不同)。

    數學也是經驗與美,只是很多人沒有得到善待於是放棄了罷(畢竟不會造成太大影響)
    就跟現今許多人放棄某些人文學科或是藝術能力(實不相瞞我也是一分子……因為沒錢QQ)
    但我想,學會放棄是一件好事,而能夠一度拾起被自己放棄的興趣(或能力)而精進並得到成果,更是一件美事吧。

    一點小小回饋。

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