不賣咖啡,只有限制級的真相

2016-11-03

數學不好是什麼原因?



請問大家,數學跟我們有什麼關聯呢?

「不就是買東西算錢、記帳、會計那類的嗎?」你說。



但其實我們所做的一切行為都跟數學有關,比方我丟出一個棒球給你,你手一揮就接住了,這看起來很簡單的行為,其實當中我們至少使用了:

1. 視覺感知:看到球飛出了、球的運行軌跡、到我這裡的時間與位置、判斷球接觸到我手的時刻。

2. 肢體動作:移動我的身體、伸手在球落下的位置、用力握住球。

這種「你丟我撿」不到幾秒鐘的事情,如果你要讓機器人去做,就要用電腦大量計算我們上述那些所有運動的準確數值,什麼「球速、球體重量、加速度、風速、自身移動速度、拋物線軌跡、機器人出手速度、握力大小」等等的一大串。

之所以要這麼多「電腦計算」配合,是因為我們必須要還原出「自然界運動的描述準則」給電腦,讓電腦依照這種準則去操作機器人,機器人的行動才能準確、有效。

如果讓電腦隨性運動,你丟出一顆球,機器人豪放地在空中亂揮手亂抓,要接到球的機率幾乎是零。

而這種「自然界運動的描述準則」就是:公式


「不對啊,你講的這些公式我都不會耶,就算學過也記不住、記住也不會用,那我是怎麼接球的呢?」許多數學不好的朋友紛紛表態。


要回答這個問題,我們要從人腦下手,但是要了解人腦,我們必須要看「電腦」。

電腦是怎麼運作的呢?

兩個核心關鍵你要知道:


1. 進位。
2. 公式。


1. 進位。

有進位,你才能有計算單位的「規律」。

這很好理解,我們人類使用的是十進位,所以會用「一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二、十三…」這樣的數字來計算,我寫中文字是為了讓你好讀出來,但如果我們沒有進位的設定呢?比方世界上沒有十進位,那我們就每一個數值都要創造一個專有名稱:


● 一
●● 二
●●● 三
●●●● 四
●●●●● 五
●●●●●● 六
●●●●●●● 七
●●●●●●●● 八
●●●●●●●●● 九
●●●●●●●●●● 十
●●●●●●●●●●● 行
●●●●●●●●●●●● 山
●●●●●●●●●●●●● 凡
●●●●●●●●●●●●●● 久
●●●●●●●●●●●●●●● 兀
●●●●●●●●●●●●●●●● 亡
●●●●●●●●●●●●●●●●● 弓
●●●●●●●●●●●●●●●●●● 巾

每個數值都要有一個名字,一直下去沒玩沒了。

然後我跟你講話的時候可能會變成:

「喂,我買了兀個日本甜柿,花了碰碰元,如果你下次也想買的話,老闆說只要下午凡點以後都滿逼逼送匡噹,很划算耶!」

(數值示例:兀=15,碰碰=400,凡=13,逼逼=500,匡噹=100)

如果世界上真的用這麼龐大的語言詞彙,那我們腦子會無法處理,所以只要使用進位,就可以每一段循環又重新開始,讓計算比較方便。

歷史學家說,我們選擇十進位是因為人有十根手指,所以數完了以後就直接進位,那電腦的運作是跟電壓、電路有關,所以使用二進位,這部分我們不討論,只要知道,進位可以簡化我們的計算即可。

但有了進位只是能計算數量而已,你要描述一顆蘋果從樹上掉下來並不是「一秒鐘、兩秒鐘、三秒鐘、碰!砸到頭了」這樣,否則你只要去別的國家、遇到不同水果、不同高度的果樹,就通通躲不開了。

我們需要一種「通用」的描述,只要知道水果體積、重量、果樹的高度,就能知道「它什麼時候會砸到我們的頭」。

那這就是所謂的「數學公式」。


有了各種公式,電腦就能計算「蘋果掉下什麼時候會砸到頭?山坡多斜汽車就會滑下去?機器人抬起一隻腳要身體傾斜幾度才不會摔倒?小寶寶的臉要捏多用力他才不會痛」等等的問題。

電腦首先要有各種體積、重量、速度等等的數據,然後用不同的公式,大量計算、進位,才能得出不同的自然界物體運作的正確描述,然後才能再做反應。


「電腦真遜!這麼普通的問題也要計算這麼多?」有人不屑地說道。


是啊,為什麼人類不用?


你看到球飛過來了,頭一閃就躲開了。

你在山坡上停好車後,隨便拿一個磚塊碎片就抵住輪胎了。

你抬起一隻腳根本從來都不會摔倒。

你捏小寶寶的臉他也不會哀嚎。


為什麼呢?


因為:


人類全部都計算完畢。


「亂講!我從小數學就超爛的!哪來什麼鬼計算?」大量網友跳出來反駁了。


因為這些是「非自主」、你不能控制的。

所有能感知外部的動物,都在透過數以億計的腦細胞神經元大量的傳導、記憶、進位,進行各種「同步」平行計算,讓你可以幾乎在一瞬間,就已經對外部世界做出各種舉動、各種判斷,包括你要「如何起身、如何行走、如何張開嘴巴咬東西、如何不要把自己舌頭咬到」等等的每一個運動都是腦部計算(運作)的結果,而跟電腦最大的差異是,這些計算「你無法意識到」並且「不是依循公式」

我們肢體的運作多半都只是一個「約略」的生物計算結果,一個棒球飛過來,你「大概」知道要跳多高、「大概」手要伸多長、「大概」要多用力才能接住一顆球,但是有些人的腦部計算不夠精準或不夠直接,所以有些人接不到球。

所謂不夠「直接」,就是你腦部在運算過程中參雜了其他的計算。

比方有些人看到球飛過來,會馬上開始想:「咦!這個球似乎會飛到我身後噢,那我應該往後走嗎?還是我該跳更高呢?但我會不會被打到手啊?很痛耶~」

種種任何一些其他思維或反應,就會改變整個計算的結果,於是球飛走了或砸到你的頭了。


簡單來說:


電腦計算,是「各種數據輸入+公式」得出了準確的結果。

如果結果跟現實有偏差,那可能是「數據不準」,比方風的角度沒算進去、比方空氣中微粒灰塵太多增加阻力、比方機器人本身太重,跳起來慢一拍。

也可能是「公式錯誤」,比方你根本不知道有所謂的「變化球拋物線」,那你設計的機器人也接不到球。



而人腦計算,則類似「眾人商量往前走」所得出的概括結果。

當幾萬人的群眾一起往前走,看到懸崖時,前方的人登高一呼說:「往左一點!」眾人就亂亂地往左一點,避開了懸崖。當聽到:「大家下一步快走一拍!」,某些人快了一步、某些人快了兩步,某些人可能沒反應,雖然結果都是群眾整體變快了,但結果卻是不精準的。


透過動物腦部的非自主生物計算,人類可以接球、獅子可以狩獵,但因為不夠精確,所以有人會撞到頭、撞到手,某些獅子會抓不到羚羊,或某些羚羊躲不開獅子等等的。

而人類跟動物最大的不同在於,我們產生了「意識思維」後,能利用語言符號來拼湊出自然界的公式,比方牛頓運動定律、流體方程式、浮力方程式、熱力方程式等等的。

自然界就是依循這些規律運轉:蘋果會掉到地上、海水會蒸發、地球會圍繞著著太陽運轉、人類無法在天空飛翔。

當某些變數出現,規律也就改變,所以人類的數學公式三不五時就會被推翻、更新,但是不論如何,人類並不需要歸納出這些公式,就能在水裡游泳、就能在皮膚被燙傷前把手拿開,因為我們腦部這台計算機早就通通算好了,只是這種計算過程我們「多數人」感知不到。


「什麼多數人?難道有少數人能感知到!?」有人驚恐地問。


是的,這就是我們今天要講的重點。


請問大家是怎麼樣算算數的?比方1+5?


按照電腦或人腦生物計算,都應該是「數字輸入」進去,然後「進位、公式」計算,再「答案輸出」,對吧?


但我告訴你,我的腦子不是這樣計算的,我的腦子是用「背」的


我的腦子沒有「數字輸入+進位+得出答案」這樣的過程,而是我記住了「1」、「5」這些數字的形狀,然後我腦海中浮現兩種處理模式:


1. 我記得「1+5=6」的形狀,所以我嘴巴可以講出,答案是6。

2. 我腦海中出現「●」與「●●●●●」兩個形體畫面,所以我在腦中用「數」的,數出來的答案是6。


「不對啊!你不是說我們人腦有生物計算嗎!怎麼沒有用到!」很多人突然感受到一個重大真相浮現。


因為,我們通常「調用不到」生物計算的能力。


我們人類有非自主的生物計算能力沒錯,但那都是「非自主」,我們無法控制那些腦細胞去計算、進位,雖然這些細胞神經元可以快速地控制高難度的跑步、跳舞、射飛鏢,但那些都是身體自己完成的。

就相當於你買了一台電腦,然後你對它說:「電腦!告訴我1+5等於多少!」電腦才不會有任何反應。

即便你開啟Word、小畫家、憤怒鳥,也算不出這麼簡單的問題,但是,你如果找到「計算機」程式,你就可以打開來操作,但電腦可聽不懂你說的「1」、「5」,因為電腦是二進位,這些數字會變成電腦看得懂的「0」、「1」排列以後,才能開始進位運算。


而某些人能直接使用腦部生物計算,他們可以天然轉換外部數字成為能腦海中解讀的資訊,因此有所謂的心算高手,他們可以快速計算幾萬位的乘除法。

這跟一般人的「意識進位」算法不同,一般人即使去心算班再怎麼訓練,成效也有限,因為我們多數人是腦部要先解讀眼睛看到的「數字」、「符號」這些視覺資訊,當資訊成為我們語言思維裡能理解的東西後,還要再從我們記憶裡尋找有沒有「公式」或「經歷」可以用,就像我上面說的,我看到1+5就知道是6,因為這我已經背起來了,而有些人則連公式也背起來,可以在特定時候套用。

也就是說,我們人類看待數學,其實都在做「視覺」、「語言」、「記憶畫面」的腦部處理,某些人可以或多或少地將資訊轉入腦海中生物計算的細胞陣列裡去處理,這些人就是所謂「數學好的人」,數學好的人可以把數字、公式丟進意識層面裡,然後轉換資訊、等待生物計算的結果。


而當你可以在意識層面與腦部非自主計算層面順暢地互換資訊時,那就是所謂的「數學天才」。

數學天才可以在眼睛看到數字與公式時,腦部就瞬間做相應的計算,並且,還能立即把這些生物計算傳達到意識層面裡,所以那些數學天才在高速心算時,常常都是說他們「看到了」答案。

就像你按計算機,可以「看到了」顯示幕上的答案那樣輕而易舉。


而數學不好的人,就是缺乏這種互換能力,而通通都要用「意識進位」法,數字跟公式符號都只是形體,看到了以後要去「想」這些到底是什麼意思呢?


「加速度?是誰在加速?誰跟誰加速?加速度跟速度不一樣?為什麼啊?那加速度公式是什麼?又是牛頓第幾定律?」


當你腦海中在一句話、一句話地思索時,你就不可能去透過「上課認真聽講、背誦公式、回家多多解題」來讓數學變好,因為你每次都要重新想!

當公式越多、主題越多,你就幾乎都是在背誦「無意義的」語句,類似「古特摸寧,好阿魚?」這種英文硬背學習法,沒有任何效果。(示意:Good morning, how are you?)


所以,人類學數學的過程,基本上就是在比拼「生物運算感知能力」「記憶力」而已,每個活人腦子都有生物運算能力,但當你能感知的越少,你就要用越多的記憶力去彌補,而「記憶力」,本身也是一種腦部生物計算的儲存。

人並不是看到一樣東西,馬上就複製眼睛接收到的光子資訊,原封不動地放入腦細胞裡記住,不是的。

而是你腦部做各種解讀,你會花不同的注意力在人物上、顏色上、形體上等等的焦點,然後你腦部把這些焦點資訊存入整個生物運算裡,當需要回想的時候,就調度給你的意識層面。

人透過腦部生物計算可以處理各種行為,還可以透過語言來建構意識思維、控制感知,於是人類能去思考、創作,也能夠去忍耐、轉移注意力、鍛鍊心智。

不過隨著你人生裡的越來越多的記憶及思維混雜,加上整個生物運算過程本身是不精確的,你很有可能會記錯,或杜撰回憶。

所以我們一般人,當你回想任何一個畫面,你只能想起大概的樣子,細節你幾乎想不起來,但同樣的,如果你可以在意識層面直接調度你生物計算裡的資訊,那你就有了過目不忘的能力。

如果你是一個科學家或數學家,擁有越好的記憶力以及生物運算互換能力當然越有幫助,因為當我們其他人還在思考「光速是什麼?」的時候,你已經可以把記憶裡所有的物理公式通通都拿出來思索,並快速計算「有沒有哪幾個公式可以搭配在一起用?可以增減什麼常數來讓公式更完美?」之類的問題。

也因此我們一般人看科學家在黑板上一條又一條地寫公式,然後這個代換那個、那個反過來消掉這個,突然間「太空船飛到月亮的路線就計算出來了」的時候真是驚奇萬分!因為我們一輩子也達不到這種等級。


但也因此,我們人類不是機器人。


問問大家,人工智慧機器人跟人類最大的差異在哪裡?


不是什麼金屬肢體、機械手臂這些,而是:


人工智慧永遠都會算對。


你要機器人算「幾百萬乘幾百萬再開根號」,機器人都會答出精確數值,但我要你算「一個小時有幾秒?」,你可能就會算錯,或我問你:「你跟老婆結婚幾年了?妳老婆愛吃什麼?」很多男生也答不出來,但機器人就一定答的出來,因為機器人的世界是「直接感知運算」,他輸入什麼資訊,就直接記住或處理,不會忘、不會進位錯誤。


「那我們數學不好的人怎麼辦?」很多學生問。


這個問題,我們應該先問:「數學好,適合做什麼?」


由前面討論的我們可以知道,你數學好,才適合去計算、解題、當科學家,因為你需要「快」、「準」以外,還需要意識層面去調動「適合的生物運算」層面來尋找「靈感」


什麼意思呢?


前面說過,數學公式應該是「世界的運作規律」,你必須要透過意識層面去能調度生物運算能力來做各種設想,並從這些假想當中尋找有沒有哪些部分是可以描述這個世界的,然後還要從中歸納出規律。

那如果你連該設想什麼都不知道,那要怎麼歸納?就像小朋友怎麼會知道世界上有一種東西叫做「加速度」?汽車不就只有時速表嗎?真是怪了~

但像愛因斯坦這種人,他就能想像自己用光速飛行時所看到的周遭景色是什麼樣子,然後從中探索新的公式。


我們腦中的細胞神經元可以記憶非常多東西、處理龐大的計算、組合無數種資訊,但是我們意識層面卻連基本的加減乘除都無法運用,還要去「背誦」九九乘法表!

是的,我們連乘法都要用背的,明明我們腦子可以計算無數的運動軌跡,但是卻無法直接解一個乘法題目。

那等於你不會英文,卻站在美國紐約圖書館裡一樣,不論是要你介紹一下美國憲法,或者查詢五十州名稱都不可能了。

但只要你「會」英文,你就能查找,只要你再「會」法律,那你就能看得懂法律書籍,只要你再「會」一些其他東西,你就能觸類旁通用有趣的方式介紹給我們。


所以當你數學不好,上課都聽不懂了,那你去念跟數學相關科系不但會唸得很累,而且你還將無法「運用」,別的同學可以想出新的物理公式、可以從股市數據中找到潛在模式、可以在電腦前寫出新的複雜程式,甚至還能換算吉他不同弦之間的音階,這對數學不好的人都難如登天啊!


但也別灰心,因為:


生物運算不只是能用在數學上!


你或許算不出方程式的交點,但卻能做出超好吃的蛋糕!

你或許沒辦法把雞蛋排列組合,但卻能想到非常有趣的廣告!


當我們對一樣東西有興趣,我們會專注吸收相關的資訊,然後儲存、計算,並不時地反饋給我們的意識層面,所以我們會擁有各種靈感,造成:

有些人特別會寫筆記、有些人特別會做卡片、

有些人特別會打扮化妝、有些人特別會做搞笑模仿,

你會做這些事絕對不是你「照著」什麼說明書做,而是你「想到的」,也就是你的腦子有相關領域的資訊處理能力,去計算出:

「這個顏色的筆+這個粗細的線條+畫在紙上的這個位置」可以讓「這個年紀的人看到後很喜歡」。


請問這是要用什麼公式?


你不知道,但是你就是能自然地運用這個能力。


所以現代人生存的關鍵是:找到你自己的興趣,並把它連接到社會上。


上一代的很多人不懂,他們都拼死唸書,一輩子做自己不喜歡的工作、鄙視其他的行業,因為當時他們沒有選擇,也看不到其他選擇,但是現在我們都看得到,不論歌手、作家、演員、運動員、廚師、美髮師、設計師等等的各行各業,都有人能在社會上立足、找到自己生活的路,所以,「不知道自己喜歡什麼」比「數學不好」來得嚴重很多,因為你沒有機會探索發展,也把腦部能給你的靈感潛力都浪費了。


我有一個大學教授叫彭懷恩,他說過一句經典名言來勉勵我們的求學生涯,我再引用一次:


在哪裡跌倒,就在哪裡躺下。


他意思是,我們人的潛力多元,每個人都能做很多事情,千萬不要在「自己最不擅長」的地方鑽牛角尖、給自己設限。

如果某條路不行,就換一條路,因為我們要的是「最後結果」的快樂和滿足,當我們找到自己擅長的領域、喜歡的興趣,然後在這條路上打拼,那有一天回首時,必定會覺得這樣的人生是充實的吧。





後記:

多年前我曾寫過一篇《數學不好的真正原因》,在那篇文章,我描述了學生時期自己身為「數學不好」者解題時的心境,但那時對整個概念還是模模糊糊的,雖然我猜測可能跟思維有關,但並不知道整個背後的生物癥結。


那篇文章喚來了許多數學不好的同學共鳴,也換來了一些家長的感慨,更換來不少數學老師或數學好的人的辯駁,覺得就是我們這些人不努力、不解題、不認真,寫一些煽動性的文章干擾國家發展。

但現在你可以清楚知道,數學好不好跟那些毫無關聯,數學不是很好的人,即便拼死拼活地念,程度也只會是中下再下一點或者是倒數的。

我現在還留著過去高中的考卷,裡面的公式跟題目我一個都看不懂,但是拿去給我爸媽看,他們只要翻翻課本回憶一下,馬上就都會做了。


很多家長自己數學不錯,卻一直不懂自己小孩數學為何不好而無比懊惱。

而對數學不好的人來說,你們其他人才真的是不懂「聽數學課」的痛苦。


我大學曾聽從父母選了商科,很多微積分、線性代數的課程,每次上課時,老師講的前幾句話多半我都聽得懂,但會突然在某一刻,老師就切換天語模式,然後身旁所有人也都進入這個境界,我左顧右盼,找不到任何跟我一樣的人!

部分同學很認真的做筆記,部分同學超前進度往後翻原文課本,部分同學很自在地邊轉筆邊點頭,彷彿老師講得頭頭是道。


但我一句都聽不懂。


一門課三小時,每天傍晚還有額外的課,由助教用超快速語調講解原文課本裡的數學題目,日子一片黑暗。

當時遇到一個法律老師,他說自己年輕時數學也是超爛,因此堅決不念數學,跑去讀法律,後來變成補習班名師,過得很愉快。他很常講自己「放棄數學」這件事,但是我當時不覺得那是一個選項,畢竟我念的是商科,每天都碰得到數學課。

後來我念了傳播科系,聽到另一個老師也講自己「數學不好」卻變成了補教名師,過得很爽,我才漸漸頓悟,發現「或許數學不好也沒差」。


如果你是學生,你可能會很恐懼數學不好怎麼辦。


如果你是大人,你會發現,數學不好並不影響人生幸福。


但當了父母後,很多人卻又非常恐懼小孩數學不好怎麼辦。



原因都在於,絕大多數人不懂人類的思維構成模式,也因此不知道自己是「怎麼活下來的」,反正長輩說什麼、大家說什麼,我們就照做不是嗎?

是的,我們多數人有太多的思維迷思、謬想,以至於跟世界脫節或人生變得黯淡都不是肇因於「自己的能力不足、潛力不夠」,而是因為想錯而導致整片的行為偏誤,不止拖垮了我們自己還連累到旁人,但現在,該是時候停止了。


--


這次用的電影封面是電影《會計師》(The Accountant, 2016),描述一個有點自閉症卻數學很好的人所經歷的各種起伏,非常好看,很像是《龍紋身女孩》的清淡版本,推薦!

補充一下,很多小朋友看了這種電影後,都覺得自己也能變成數學天才,而幻想一些可以快速計算的本事,我還記得高中時有個同學,喜歡用中國古代「掐指一算」的這種手勢,數學課時他掐指算得不亦樂乎,但算出的答案跟老師後來公佈的都不一樣,以致於他還必須要補充,剛剛是八卦或紫微斗數少用了一招才算錯,很妙~。

這都是小男生的幻想類型,比較少看到女生會因為看到電影而有這種舉動。






















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